10 図形の折り返し
出題パターン
１
AB=1cm，BC= 2 cm の長方形 ABCD について，次の各問に答えなさい。 ⑴ 右の図 1 のように，長方形 ABCD を辺 BC 上の点 E，辺 CD 上の点 Fを通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C が辺 AD 上の点 G に重 なりました。
∠DGF=26°のとき，∠GEF の大きさを求めなさい。
〔 〕
⑵ 右の図 2 のように，長方形 ABCD を辺 BC 上の点 H，辺 AD 上の点 I を通る線分 HI を折り目として折ったとき，点 C が点 A と重なりました。 また，点 D の移った点を J とします。このとき，zAHI の面積を求めな さい。
〔 〕
ポイント
ポイント 「図形の折り返し」についての問題では，総合的な知識を必要とするものが出題されます。折り 返した図形と，折り返す前のもとの図形が合同であることに注目し，大きさの等しい角や長さの等しい辺を調べ て，図にかきこみ，その情報をもとに問題に取り組むようにしましょう。
➡ 図形の折り返しと相似
下の図の長方形 ABCD を線分 BE を折り目として 折り返したとき，点 C の移った点を F とすると， ∠BFE=∠BCE=90°
よって，∠ABF=∠DFE，∠AFB=∠DEF 2 組の角がそれぞれ等しいので，
zABF∽zDFE となる。
A
B C
F D
E
➡ 図形の折り返しと二等辺三角形
下の図の長方形 ABCD を線分 AC を折り目として 折り返したとき，点 D の移った点を G，AG と BC との交点を H とすると，
∠HAC=∠DAC また，∠DAC=∠HCA
よって，∠HAC=∠HCA となり，zHAC は二等 辺三角形となる。
A
B H
G
C D A
B E C
F G 26° D 図 1
A
B H C
I D J 図 2
練 習 問 題
１
右の図のように，長方形 ABCD を，辺 BC 上の点 E，辺 AD 上の点 Fを通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C の移った点を C´，点 D の 移 っ た 点 を D´と し ま す。∠D´FE=110˚の と き，∠C´EB の 大 き さ を求めなさい。
〔 〕
２
右の図のように，AD＞AB の長方形 ABCD を，辺 AD 上の点 E， 辺 BC 上の点 F を通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C の移っ た 点 を C´，点 D の 移 っ た 点 を D´，線 分 ED´と 線 分 BF と の 交 点 を G とします。∠EFG=50˚のとき，∠D´GF の大きさを求めなさい。〔 〕
３
右の図のように，1 辺の長さが12cm の正方形 ABCD を，辺 BC 上の 点 E，辺 AD 上の点 F を通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C が辺 AB の中点 M に重なりました。また，点 D の移った点を N とします。 このとき，線分 BE の長さを求めなさい。〔 〕
４
右の図のように，1 辺の長さが15cm の正三角形 ABC を，辺 AB 上 の点 D，辺 AC 上の点 E を通る線分 DE を折り目として折ったとき， 点 A が辺 BC 上の点 F に重なりました。CE=8cm，CF=3cm のとき， 線分 DF の長さを求めなさい。A
B
D
E C F D´
C´
110°
A
B
D
F C G
E
C´ D´
50°
A
B E C
M
D N
F
A
D
E
F
B C
５
右の図のように，長方形 ABCD を対角線 AC を折り目として折った とき，点 B の移った点を E，辺 AD と辺 EC との交点を F とします。 このとき，次の各問に答えなさい。⑴ ∠CAB=a˚とするとき，∠EAF の大きさを a を用いた式で表しな さい。
〔 〕
⑵ AF=CF であることを証明しなさい。 （証明）
⑶ AB=4cm，BC=6cm のとき，線分 DF の長さを求めなさい。
〔 〕
６
右の図 1 のように，長方形の紙 ABCD を点 A が辺 CD 上に重なるよ うに折ったとき，折り目の線を BE，点 A の移った点を F とします。 このとき，次の各問に答えなさい。⑴ zBCF とzFDE が相似であることを証明しなさい。 （証明）
⑵ 右の図 2 のように，図 1 の状態から，さらに辺 BC が線分 BF に重 なるように折ったとき，折り目の線を BG，点 C の移った点を H とし ます。AB=7cm，BC=5cm のとき，線分 FG の長さを求めなさい。
〔 〕
E
A F D
B C
図 1 A E D
B C
F
図 2 A E D
B C
H F
G
７
1 辺の長さが12cm の正方形の折り紙を，次の①～⑤の手順にしたがって折ると，正八角形ができます。① 図 1 のように，折り紙の頂点を A，B，C，D として，対角線 AC に折り目をつけます。
② 図 2 のように，辺 BC が対角線 AC に重なるように折り返し，頂点 B の移った点を P とします。
③ 図 3 のように，頂点 A が点 P に重なるように折り返します。
④ 図 4 のように，②の折り返しをもとに戻します。
⑤ 頂点 B，C，D について，①から④の手順を頂点 A の場合と同様に順に行います（図 5 ）。
このとき，次の各問に答えなさい。 図 1
A D
B C
12cm
図 2
A D
P
B C
図 3
A D
P
B C
図 4
A D
P
B C
図 5
A D
B C
⑴ この正八角形の 1 辺の長さを求めます。途中の説明も書いて答えを求めなさい。その際，解答らんの図に 数や記号をかいて，それを用いて説明してもよいものとします。
（説明）
〔答〕
⑵ 右の図 6 のように，もとの正方形の対角線の交点を O，正八角形の頂点の 2 つ を E，F とするとき，zAOE とzOFE が相似であることを証明しなさい。 （証明）
⑶ 右の図 7 のように，もとの正方形の各頂点を折り返した点をそれぞれ A´，B´， C´，D´とし，この 4 点を OA´=OB´=OC´=OD´となるようにしながら，もと の正方形の対角線に沿って点 O に近づけていくと，影をつけた部分（ ）の面 積と白い部分（ ）の面積が等しくなりました。このとき，八角形の頂点の 1 つを G として，線分 OG を半径とする円の面積を求めなさい。ただし，円周
A D
B C
図 6 A F E
O
D
B C
図 7 A
G
O
D
B C
A´ D´
B´ C´
８
AB=4cm，AD=4 2 cm の長方形 ABCD において，辺 AD，BC の 中点をそれぞれ M，Nとします。右の図 1 のように，線分 BN 上に点 E， 辺 CD 上に点 F をとり，2 点を通る線分 EF を折り目として，点 C が 点 M に重なるように折ると，点 N は点 N´に移りました。このとき，次 の各問に答えなさい。⑴ zMDF とzMNE が相似であることを証明しなさい。 （証明）
⑵ 線分 DF と線分 EN の長さを求めます。途中の説明も書いて答えを求めなさい。その際，解答らんの図に 数や記号をかいて，それを用いて説明してもよいものとします。
（説明）
〔答〕 DF ，EN ⑶ 右の図 2 のように，点 N´から線分 BN へ垂線をひいたときの交点
を G とします。このとき，線分 EG の長さを求めなさい。
〔 〕
図 1A M
E N
F D
B C
N´
A M
E N
F D
B C
N´
図 2A M
N E G
F D
B C
N´
